国家公务员考试行测专项练习指导：方阵问题

清枫月

   一、考情分析

　　通过近几年的省考来看，方阵问题虽然并不像行程问题、利润问题那样年年都会考查。但是作为公务员考试的一个常考知识点，大家还是应该对其引起重视，尤其近两年常会碰到的方阵的转换及变形，以及空心方阵问题都有一定难度，需要大家熟记方阵问题的公式。

　　二、基础知识

　　1.题型简介

　　方阵问题是数学运算中一类常见的数学问题，是许多人或物按一定的条件排成正方形（简称方阵），再根据排成的方阵，找出规律，寻求解决问题的方案。

　　2.概念区分

　　行：排队时，横着排叫做行。

　　列：排队时，竖着排叫做列。

　　实心方阵：中心区域没有空缺，叫实心方阵。
方阵问题的基本概念

　　（1）方阵不管在哪一层，每边人的数量都相同，每向里面一层，每边的数就减少2。

　　（2）方阵每相邻两层之间的总人数都相差8。

　解题思路

　　在解决方阵问题时，首先应该准确判断方阵的类型，要搞清方阵中的一些量（如层数、最外层人数、最里层人数、总人数）之间的关系。解题时要开动脑筋，运用相关公式，用多种方法来解题。

　　三、方阵问题考点精讲

　　（一）实心方阵

　　（1）方阵总人数=方阵最外层每边人数的平方

　　（2）方阵每层总人数=方阵每层每边人数×4-4

　　（3）方阵每层每边人数=（方阵每层总人数+4）÷4

　　（4）奇数型实心方阵的最外层每边人数=2×层数-1

　　偶数型实心方阵的最外层每边人数=2×层数

　　例题1：在一次阅兵式上，某军排成了30人一行的正方形方阵接受检阅。最外两层共有多少人？

　　A.900    B.224    C.300    D.216

　　【答案详解】根据题意可知，阅兵方阵为实心方阵。

　　最外层每边30人，则最外层总人数为30×4-4=116人；

　　根据相邻两层相差为8人可知，次外层总人数为116-8=108人；

　　最外两层共有116＋108=224人。

　　提示：（1）在方阵中若去掉一行一列，去掉的人数=原来每行人数×2-1；

　　（2）在方阵中若去掉二行二列，去掉的人数=原来每行人数×4-2×2。

　　（二）空心方阵

　　根据“相邻两层的人数相差为 8”，即以方阵最外层人数为首项，依次向里，组成一个公差为-8 的等差数列，利用等差数列求和公式可得：

　　方阵总人数=层数×最外层总人数-（层数-1）×层数÷2×8=层数×最外层总人数-（层数-1）×层数×4

　　方阵总人数=层数×最内层总人数+（层数-1）×层数÷2×8=层数×最内层总人数+（层数-1）×层数×4

　　公式不需要直接记忆，只要记住每一层的人数能够组成一个公差为-8的等差数列就可以了。

　　例题2：有一队士兵排成若干层的中空方阵，外层人数共有60人，中间一层共44人，则该方阵士兵的总人数是：

　　A.156人    B.210人    C.220人     D.280人

　　【答案详解】方法一，根据“相邻两层人数相差为8”，结合“外层人数共有60人，中间一层共44人”，可知这个方阵从外到内每层人数依次是60、52、44、36、28，所以该方阵士兵的总人数是60+52+44+36+28=220人。

　　方法二，最外层到中间一层相差（60-44）÷8=2层，即中间一层是第3层，一共有5层，则总人数是5×44=220人。

　　（三）方阵人数增减

　　例题3：体育课学生排成一个方阵，最外层的人数为60人，如要在方阵最外层增加一层，则增加后最外层每边有多少人？

　　A.15    B.16    C.18    D.20

　　【答案详解】增加前最外层人数为60人，则最外边每边人数为（60+4）÷4=16，增加一层后最外层每边人数为16+2=18人。

　　（四）方阵重排

　　例题4：五年级学生分成两队参加学校广播操比赛，他们排成甲、乙两个实心方阵，其中甲方阵最外层每边的人数为8。如果两队合并，可以另排成一个空心的丙方阵，丙方阵最外层每边的人数比乙方阵最外层每边的人数多4人，且甲方阵的人数正好填满丙方阵的空心。五年级参加广播操比赛的一共有多少人？

　　A.200    B.236    C.260    D.288

　　【答案详解】空心的丙方阵人数=甲方阵人数+乙方阵人数，若丙方阵为实心的，那么实心的丙方阵人数=2×甲方阵人数+乙方阵人数，即实心丙方阵比乙方阵多8×8×2=128人。

　　丙方阵最外层每边比乙方阵多4人，则丙方阵最外层总人数比乙方阵多4×4=16人，即多了16÷8=2层。这两层的人数即实心丙方阵比乙方阵多的128人，则丙方阵最外层人数为（128+8）÷2=68人，则丙方阵最外层每边人数为（68+4）÷4=18人。那么，共有18×18-8×8=260人。

　　（五）方阵问题与其他问题相结合

　　例题5：某部队战士排成了一个6行、8列的长方阵。现在要求各行从左至右１，２，１，２，１，２，１，２报数，再各列从前到后１，２，３，１，２，３报数。问在两次报数中，所报数字不同的战士有：

　　A.18个    B.24个    C.32个    D.36个

　　【答案详解】此题可画出直观图进行解答。当从左至右报1时，从前至后报2的有8人，报3的也有8人；当从左至右报2时，同理可得，从前至后报1的有8人，报3的也有8人，即所报数字不同的战士有32人。故选C。

　　四、核心要点

　　1.方阵总人数=最外层每边人数的平方（方阵问题的核心）

　　2.方阵最外层每边人数=（方阵最外层总人数÷4）＋1

　　3.方阵外一层总人数比内一层总人数多2

　　4.去掉一行、一列的总人数＝去掉的每边人数×2－1